集合的本质
集合是具有确定性的整体，由若干个确定的元素组成。例如"所有偶数"是集合（能明确判断元素归属），而"所有大数"不是（缺乏明确标准）。
简单说：集合是"边界清晰的一堆东西"
集合的基本概念图示
卢曼卡片使用说明
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基础概念
元素与集合的关系
元素与集合之间存在属于(∈)或不属于(∉)的关系。 例如，若A={1,2,3}，则1∈A，而4∉A。
注意：元素与集合是不同的概念，元素是构成集合的基本单位。
属于：
a ∈ A
不属于：
b ∉ A
元素的互异性
集合中的元素必须互不重复。例如{1,2,2,3}不是有效集合，正确形式应为{1,2,3}。
这是因为重复元素对集合没有新贡献，反而会导致逻辑混乱（如计算交集时重复元素不影响结果）。
集合元素互异性示意图
集合的表示方法
常用两种表示方法：
- 1. 列举法： 直接列出所有元素，如{1,2,3}（适合元素数量少的集合）
- 2. 描述法： 用元素的共同特征描述，如{x | x是偶数}（适合元素数量多的集合）
列举法：
{2,4,6,8}
描述法：
{x | x=2n, n∈N, 1≤n≤4}
韦恩图表示法
韦恩图(Venn Diagram)使用平面上的封闭曲线（通常是圆）表示集合及其关系的图示法。
它可以直观地展示集合之间的交集、并集、子集等关系，是理解集合概念的重要工具。
韦恩图示例：展示两个集合的交集
集合关系
子集与真子集
如果集合A的每个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
若 A={1,2}, B={1,2,3}:
则 A⊆B 且 A⊂B
子集关系示意图
集合相等
两个集合A和B相等（记作A=B）当且仅当它们具有完全相同的元素。
即A⊆B且B⊆A。集合相等不考虑元素的顺序和重复，只关心元素是否完全相同。
{1,2,3} = {3,2,1} = {1,2,3,2}
（重复元素和顺序不影响集合相等）
空集
不含任何元素的集合称为空集，记作∅或{}。
空集是任何集合的子集，即对于任意集合A，都有∅⊆A。 空集是唯一的，即所有空集都相等。
空集符号：
∅ 或 {}
空集性质：
∀A, ∅⊆A
全集
在特定讨论中，所涉及的所有元素的集合称为全集，通常记作U。
全集是一个相对概念，取决于讨论的上下文。例如，在讨论整数性质时，全集可能是所有整数的集合ℤ。
全集U包含所讨论的所有元素，其他集合都是U的子集
集合运算
并集
两个集合A和B的并集是由所有属于A或属于B的元素组成的集合，记作A∪B。
并集运算对应逻辑上的"或"关系：x∈A∪B 当且仅当 x∈A 或 x∈B。
定义：
A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
示例：
若 A={1,2}, B={2,3}, 则 A∪B={1,2,3}
并集A∪B包含两个圆的所有区域
交集
两个集合A和B的交集是由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩B。
交集运算对应逻辑上的"且"关系：x∈A∩B 当且仅当 x∈A 且 x∈B。
定义：
A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
示例：
若 A={1,2}, B={2,3}, 则 A∩B={2}
交集A∩B是两个圆的重叠区域
差集
两个集合A和B的差集是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，记作A\B或A-B。
差集运算对应逻辑上的"非"关系：x∈A\B 当且仅当 x∈A 且 x∉B。
定义：
A\B = {x | x∈A 且 x∉B}
示例：
若 A={1,2,3}, B={2,3,4}, 则 A\B={1}
差集A\B是A圆中不与B圆重叠的部分
补集
设U为全集，A是U的子集，则A的补集是由所有属于U但不属于A的元素组成的集合，记作CuA。
补集是差集的特例：CuA = U\A。
定义：
CuA = {x∈U | x∉A}
示例：
若 U={1,2,3,4}, A={1,2}, 则 CuA={3,4}
补集CuA是全集U中不属于A的部分
互斥集合
如果两个集合A和B没有公共元素，即A∩B=∅，则称A和B是互斥的（或不相交的）。
互斥集合的并集运算比较简单，元素不会重复计算。
若 A={1,2}, B={3,4}:
则 A∩B=∅, A和B互斥
互斥集合A和B没有重叠部分
集合定律
德摩根定律
德摩根定律描述了补集运算与并集、交集运算之间的关系：
- 1. Cu(A∪B) = CuA∩CuB
- 2. Cu(A∩B) = CuA∪CuB
记忆技巧：补集分配进括号，并交集互换
德摩根定律图示
分配律
分配律描述了并集和交集运算之间的分配关系：
- 1. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
- 2. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
注意：集合分配律有两种形式，不同于算术中只有一种乘法对加法的分配律
结合律与交换律
并集和交集运算都满足结合律和交换律：
- 交换律： A∪B = B∪A, A∩B = B∩A
- 结合律： (A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
并集和交集运算优先级相同，需用括号明确顺序
幂等律与同一律
集合运算中的幂等律和同一律：
- 幂等律： A∪A = A, A∩A = A
- 同一律： A∪∅ = A, A∩U = A
- 零律： A∪U = U, A∩∅ = ∅
同一律：与空集取并集、与全集取交集不改变原集合