切线放缩的前世今生
Tangent Line Method
Ⅰ 四个基础不等式 · 切线放缩核心
◆ eˣ 指数函数系列
(暖色系 · 上界)
①
eˣ 在 (1, e) 处的切线
切线方程
不等式
x = 1 时取等号
曲线恒在切线上方，eˣ 为下凸函数
②
eˣ 在 (0, 1) 处的切线
切线方程
不等式
x = 0 时取等号
平移后的切线，斜率 1
◆ ln x 对数函数系列
(冷色系 · 下界)
③
ln x 在 (1, 0) 处的切线
切线方程
不等式
x = 1 时取等号
曲线恒在切线下方，ln x 为上凸函数
④
ln x 在 (e, 1) 处的切线
切线方程
不等式
x = e 时取等号
另一组重要的切线放缩
核心原理
eˣ 系列
：指数函数为下凸函数，图像恒在任意切线的
上方
→ 得到下界不等式
ln x 系列
：对数函数为上凸函数，图像恒在任意切线的
下方
→ 得到上界不等式
通过切线将超越函数 eˣ、ln x 转化为一次函数，实现复杂不等式的证明。
* ③式原图标注"x=0取等"为笔误，正确取等条件为 x = 1
图 1 · eˣ 与切线的关系
实线：eˣ 曲线 | 虚线：切线
图 2 · ln x 与切线的关系
实线：ln x 曲线 | 虚线：切线
◆
Ⅱ 导函数的性质 · 基础不等式的衍生变形
▶ eˣ 系列推导
eˣ ≥ x+1
基础不等式
→
变量替换 x→x-1
→
推导结果
e⁻ˣ ≥ 1-x
变量替换 x→-x
→
取倒数变形
▶ ln x 系列推导
ln x ≤ x-1
基础不等式
→
换元 x→e
→
推导结果
-ln x ≥ 1-x
取负变形
→
推导结果
由 ln x ≤ x/e 推导
组合推导
◆
Ⅲ 以直线 y = x-1 为切线的函数链
y = x²-x · y = x ln x · y = x-1 · y = ln x · y = 1-1/x
* 所有不等式均在 x = 1 处取等号
图 3 · 五条曲线在 x=1 处相切于 y=x-1
x → 1⁺⁻ 时各曲线趋近于公共切线
◆
Ⅳ 以直线 y = x+1 为切线的函数链
y = 1/(1-x) · y = eˣ · y = x+1 · y = ln(x+2)
* ln(x+2) ≤ x+1 与 eˣ ≥ x+1 在 x=0 取等
* 末式 1/(1-x) 定义域 x < 1
图 4 · 四条曲线在 x=0 处相切于 y=x+1
各曲线在原点附近的行为