要啥和差化积，本质比技巧重要——2025年高考数学第19题深度研究
高考命题的悄然转向：从技巧演练到本质理解
高考已经过去六个多月，高一的同学不知不觉也学到了三角函数模块。从弧度制、同角三角函数关系，到诱导公式、二倍角公式，一步步搭建起三角知识的框架。最近重新审视2025年高考数学第19题这道三角压轴题，不再是当时追求快速破题的急切，反而有了新的感悟：这道题根本不是“超纲难题”，而是检验三角函数本质理解的绝佳范本——它真正要考的，从来不是和差化积这种“技巧性公式”，而是贯穿整个函数思想最本质的体现。
让我们先完整地看看这道题：
(2025新高考1卷) 19、设函数 $$ f(x) = 5\cos x - \cos 5x $$
(1) 求 f(x) 在 [0,4π] 的最大值；
(2) 给定 θ∈(0,π)，设 a 为实数，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]，使得 cosy≤cosθ；
(3) 若存在 φ 使得对任意 x，都有 5cosx−cos(5x+φ)≤b，求 b 的最小值。
从表面上看，这是一道标准的三角函数综合题。但当我们剥开层层外壳，会发现它揭示的数学思想远比我们想象的要深刻。
第一问：回归导数本源，理解函数变化
第一问要求函数在特定区间的最值。最自然的思路是求导：
（1）解： f′(x)=−5sinx+5sin5x
令 f′(x)=0，即 sinx=sin5x。
解得：5x=x+2kπ 或 5x=π−x+2kπ (k∈Z)。
结合 x∈[0,4π]，解得 x=6π。
