约束下的自由

1. 面积与高的关系

由 $$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}bc\sin A$$，得 $ah = bc\sin A$

即 $$h = bc \cdot \frac{\sin A}{a}$$

（固定 $A, a$ 时，$h$ 与 $bc$ 正相关）

2. 余弦定理放缩

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

$$a^2 \ge 2bc - 2bc\cos A = 2bc(1-\cos A)$$

当且仅当 $b=c$ 时取等号，此时 $bc$ 取得最大值，$h$ 也取得最大值。

3. 面积的单变量形式

固定外接圆半径 $R$ 时，$$S \leq R^2\sin A(1+\cos A)$$

令 $y = \sin A(1+\cos A)$，设 $t=\cos A$，$A\in(0,\pi) \implies t\in(-1,1)$

则 $\sin A=\sqrt{1-t^2}$，$$y=(1+t)\sqrt{1-t^2}=\sqrt{(1+t)^3(1-t)}$$

4. 四元基本不等式求极值

对内部用四元基本不等式，设三个 $\dfrac{1+t}{3}$ 与一个 $1-t$：

$$\frac{1+t}{3}+\frac{1+t}{3}+\frac{1+t}{3}+(1-t) = \frac{3(1+t)+3(1-t)}{3}=2$$

$$(1+t)^3(1-t) = 27\cdot\left(\frac{1+t}{3}\right)^3(1-t) \le 27\cdot\left(\frac{2}{4}\right)^4 = \frac{27}{16}$$

等号当且仅当：$$\frac{1+t}{3}=1-t \implies t=\frac{1}{2}$$

即 $\cos A=\dfrac{1}{2} \implies A=\dfrac{\pi}{3}$

✨ 结论

$$y_{\max}=\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

当 $A=B=C=\dfrac{\pi}{3}$，即三角形为正三角形时，面积取得最大值。