题目
双曲线 $C: x^2 - y^2 = 1$（由第(1)问已得）。
直线 $l_1$ 依次交 $C$ 的左支、$x$ 轴、右支于 $P, T, Q$ 三点。
经过点 $T$ 且垂直于 $l_1$ 的直线 $l_2$ 与 $C$ 有且仅有一个公共点 $M$。
点 $N$ 与 $M$ 关于原点 $O$ 对称。
直线 $NP, NQ$ 分别交 $x$ 轴于 $A, B$ 两点。
证明：
① $M, T$ 两点的横坐标之积为定值；
② 四边形 $AMBN$ 是平行四边形。
逻辑关系再梳理：
我们可简化理解：先有 $T$ 点 $\Bigl(-\frac{1}{x_0}, 0\Bigr)$，直线 $l_1$ 沿特定方向延伸，方向向量为 $(x_0, -y_0)$，与双曲线交于 $P, Q$ 两点；$N$ 点在双曲线上，其横坐标与 $T$ 点横坐标互为负倒数，由此构成题干图形。核心是跳出常规联立，找到更简洁的解题路径。
向量登场：方向即一切
观察切线 $l_2: -x_0 x + y_0 y = 1$。其法向量为 $(-x_0, y_0)$，故方向向量为 $(y_0, x_0)$。因 $l_1 \perp l_2$，取 $l_1$ 的方向向量为 $(x_0, -y_0)$。
这一定向，便点石成金。
我们不再设斜率，不写点斜式，直接用这个方向向量参数化整条直线 $l_1$：
设 $T\Bigl(-\frac{1}{x_0}, 0\Bigr)$，令
$
\overrightarrow{TP} = \lambda_1 (x_0, -y_0), \qquad
\overrightarrow{TQ} = \lambda_2 (x_0, -y_0).
$
则 $P, Q$ 的坐标应声而出：
$
P\Bigl(-\frac{1}{x_0} + x_0\lambda_1,\; -y_0\lambda_1\Bigr), \quad
Q\Bigl(-\frac{1}{x_0} + x_0\lambda_2,\; -y_0\lambda_2\Bigr).
$
将 $P$ 坐标代入 $x^2 - y^2 = 1$：
$
\Bigl(-\frac{1}{x_0} + x_0\lambda_1\Bigr)^2 - (-y_0\lambda_1)^2 = 1.
$
展开：
$
\frac{1}{x_0^2} - 2\lambda_1 + x_0^2\lambda_1^2 - y_0^2\lambda_1^2 = 1.
$
注意到 $x_0^2 - y_0^2 = 1$，提取 $\lambda_1^2$ 项系数恰为 $1$：
$
\frac{1}{x_0^2} - 2\lambda_1 + \lambda_1^2 = 1 \;\Longrightarrow\; \lambda_1^2 - 2\lambda_1 + \frac{1 - x_0^2}{x_0^2} = 0.
$
由 $1 - x_0^2 = -y_0^2$，得：
$
\lambda_1^2 - 2\lambda_1 - \frac{y_0^2}{x_0^2} = 0.
$
$\lambda_2$ 同理满足同一方程。由韦达定理：
$
\lambda_1 + \lambda_2 = 2, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = -\frac{y_0^2}{x_0^2}. \tag{1}
$
至此，我们仍未做任何真正意义上的“联立消元”。方向向量的选取，让双曲线方程直接降解为关于参数 $\lambda$ 的整齐二次方程。
相似比替代斜率：几何直觉的回归
求 $A, B$ 的横坐标，常规做法是写出 $NP, NQ$ 的直线方程，令 $y=0$ 解出。但既然我们在参数化 $P, Q$，何不用相似三角形？
以 $B$ 为例。在坐标系中，$N(x_0, y_0)$，$Q\Bigl(-\frac{1}{x_0} + x_0\lambda_2, -y_0\lambda_2\Bigr)$，$B(x_B, 0)$ 是 $NQ$ 与 $x$ 轴的交点。过 $N, Q$ 向 $x$ 轴作垂线，由平行：
$
\frac{|y_N|}{|y_Q|} = \frac{|x_N - x_B|}{|x_Q - x_B|}.
$
即
$
\frac{|y_0|}{|y_0\lambda_2|} = \frac{x_0 - x_B}{-\frac{1}{x_0} + x_0\lambda_2 - x_B}
\;\Longrightarrow\;
\frac{1}{\lambda_2} = \frac{x_0 - x_B}{-\frac{1}{x_0} + x_0\lambda_2 - x_B}.
$
交叉相乘，消去 $x_0\lambda_2$ 项：
$
\frac{1}{x_0} + x_0\lambda_2 - x_B = \lambda_2 x_0 - \lambda_2 x_B
\;\Longrightarrow\;
(\lambda_2 - 1)x_B = \frac{1}{x_0}.
$
$
x_B = \frac{1}{x_0(\lambda_2 - 1)}. \tag{2}
$
同理，
$
x_A = \frac{1}{x_0(\lambda_1 - 1)}. \tag{3}
$
没有复杂的通分，没有令人望而生畏的分式方程——一次相似比，一次交叉相乘，答案已跃然纸上。
高潮：$\lambda$ 之和让它灰飞烟灭
现在我们有了 $x_A, x_B$ 关于 $\lambda_1, \lambda_2$ 的简洁表达式。相加：
$
x_A + x_B = \frac{1}{x_0}\Bigl(\frac{1}{\lambda_1 - 1} + \frac{1}{\lambda_2 - 1}\Bigr)
= \frac{1}{x_0} \cdot \frac{\lambda_1 + \lambda_2 - 2}{(\lambda_1 - 1)(\lambda_2 - 1)}.
$
由 (1) 式，$\lambda_1 + \lambda_2 = 2$，分子为零。
于是 $x_A + x_B = 0$。
证毕。
反思：向量带来了什么
回看全程，向量的应用实现了三大突破，让解题效率大幅提升：
其一，用方向向量代替斜率，省去斜率存在性的讨论，规避分母为零的特殊情形，简化解题前提；
其二，用参数 $\lambda$ 统一表示 $P, Q$ 两点，坐标格式一致，韦达定理的应用水到渠成，无需单独处理两个交点；
其三，结合相似比替代直线方程，跳出“设方程、求交点”的定式，回归几何本质，大幅减少计算量。
向量的核心价值的是降维，将二维平面问题转化为一维参数问题，整个证明仅三步核心运算，无冗余步骤，尽显“易简”之理。
跳出定式，方见真章
解析几何的题目，常常诱使我们一头扎进字母的海洋。但“解析”的本质是坐标化，坐标化不等于蛮算。向量、参数、几何比例——这些同样是解析几何工具箱中的利器。当我们敢于放下“设斜率为 $k$”的惯性，用向量的眼光重新打量图形，那些原本遮天蔽日的代数项，可能在瞬间消散，露出定理本身晶莹剔透的骨架。
向量，或许正等着再立奇功。