梁晓声曾提出关于文化的四句话：根植于内心的修养；无需提醒的自觉；以约束为前提的自由；为别人着想的善良。
数学的思维同样如此，这道以前的北大自主招生题，解题不必被题海训练的套路束缚，依托内心的数学素养本源，自觉洞察问题本质；面对相互关联的变量，照顾每个变量的感受，怀有一颗善良的本心。
题目
$
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=25
$,求$a+b+c$的最小值
1.朴素的数学想法
数学问题，永远是「不变量」和「变化量」的博弈。先抓住什么东西固定不变，再看什么东西允许自由变化，最后外部约束在把无拘无束的变化给“截停”。
原题条件等价于 $
\frac12\big[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\big]=25
$
即 $
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=50.
$
这里，真正的不变量，是三个数两两之间的差距。
不管整体三个数同步向上平移、还是同步向下平移：
$$(a,b,c)\mapsto(a+t,\;b+t,\;c+t)$$
每一组差值 $a-b,b-c,c-a$ 完全不变，等式永远成立。
$t$ 就是整体平移的自由度，只要没有外加限制，$t$ 可以取任意实数。$t\to-\infty$，
$a+b+c=3t+(a_0+b_0+c_0)$ 可以无限变小。
引入非负约束 ,如何保证一组$a_0,b_0,c_0$使得$a_0+b_0+c_0$最小，令$a_0=0$，则实现降维转化题目
$$ b^2+c^2-bc =25，\qquad b\ge 0,;c\ge 0. $$ 求 $b+c$ 的最小值。
2.变换的眼光
平时训练的结果就是建立知识的关联
（1）
$
\boxed{a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}\big[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\big]}
$
（2）
$
\boxed{a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca = \frac{3}{2} \cdot \big[(a-\bar{x})^2+(b-\bar{x})^2+(c-\bar{x})^2\big]}
$
平均数为 $\bar{x} = \frac{a+b+c}{3}$，那么离差平方和为：
$
D = (a-\bar{x})^2+(b-\bar{x})^2+(c-\bar{x})^2
$
利用 $\sum (x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - 3\bar{x}^2 $：
$
D = (a^2+b^2+c^2) - 3\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2
$
$
D = \sum a^2 - \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca)
$
$
D = \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)
$
从而得到一个变式题：
在统计学中，若一组数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的平均数为 $\bar{x}$，则其方差定义为
$
D=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
$
已知一组三个非负实数 $a,b,c$ 的方差为 $D=\frac{50}{9}$，记其平均数为 $\mu=\frac{a+b+c}{3}$。
（1）证明：$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=25$；
（2）求平均数 $\mu$ 的最小值；
（3）若将数据个数推广至 $n$（$n\ge2$），且方差恒为 $D>0$，猜想平均数的最小值表达式，并证明你的猜想。
参考答案：
(1) 25。
(2) $\frac{5}{3}$。
(3) 猜想：对于 $n$ 个非负实数，若方差为 $D$，则其平均数的最小值为 $\sqrt{\frac{(n-1)D}{n}}$。
证明：设 $S=\sum_{i=1}^n x_i$，有
$
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2 - \frac{S^2}{n} = nD.
$
又因为
$
\sum_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)^2 = n\sum x_i^2 - S^2 = n(nD) = n^2 D.
$
由非负性，$2\sum_{i<j}x_ix_j\ge0$，且
$
S^2 = \sum x_i^2 + 2\sum_{i<j}x_ix_j \ge \sum x_i^2.
$
由上式 $\sum x_i^2 = \frac{S^2}{n} + nD$，代入得 $S^2 \ge \frac{S^2}{n} + nD$，
即 $\frac{n-1}{n}S^2 \ge nD \Rightarrow S^2 \ge \frac{n^2 D}{n-1}$。
所以 $\bar{x} = \frac{S}{n} \ge \sqrt{\frac{D}{n-1}}$。
当且仅当 $x_1=S, x_2=\cdots=x_n=0$ 时取等，猜想成立。
（3）和积关系对称式
变式：已知，非负实数$a,b,c$ 是关于 $x$ 的一元三次方程$
x^3 - px^2 +qx + r = 0
$的三个根：
且$ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=25 $，求$p$的最小值
用到三次方程的韦达定理。
3.可视化：
在三维坐标系中满足条件的(a,b,c)构成是斜圆柱，在第一卦象的图形
对比题：
$
Q_2 = a^2+b^2+c^2 + ab + bc + ca = 25
$
约束：$a,b,c \ge 0$，求 $S = a+b+c$ 的最大值（常规不等式取等），最小值（边界处）。
$
Q_2 = a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca = 25
$即
$
(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=50.
$
其集合图象是：椭球在第一卦象。
最小值：$S_{\min} = 5$，在边界 $(5,0,0)$ 及其排列处取得。
最大值：$S_{\max} = \frac{5\sqrt{6}}{2}$，在内部点 $a=b=c=\frac{5}{\sqrt{6}}$ 处取得。